Istituzioni di Matematiche I Programma 2017-2018


Quantificatori. I numeri: naturali, interi, razionali, reali. Assiomi dei numeri reali.

Coordinate cartesiane nel piano. Punti e vettori. Distanza: definizione formale. Valore assoluto. Densità di Q in R. Distanza nel piano. Equazione circonferenza: dal luogo di punti all’equazione. Sezione aurea: definizione, costruzione con riga e compasso e con piegature della carta. Costruzione di radice di 2 con piegature della carta, proprietà del formato “A”.

Algebra lineare

Somma di vettori, prodotto scalare. Equivalenza della formulazione geometrica e in coordinate. Matrici 2×2: operazioni di somma e prodotto, determinante. Rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari: teorema di rappresentazione. Significato geometrico del determinante. Applicazioni alle trasformazioni, altre interpretazioni del determinante. Matrici di rotazione e omotetie. Equazione parametrica della retta. Condizioni di ortogonalità. Riflessione rispetto ad una retta. Introduzione alle funzioni. Grafici.

Funzioni di una variabile e loro derivate

Operazioni con i grafici, valore assoluto di un grafico, traslazioni orizzontali e verticali, dilatazioni. Esponenziale, logaritmo di una funzione di cui si sa il grafico. Insieme aperti e chiusi, punti di accumulazione, definizioni ed esempi. Definizione di limite. Operazioni con i limiti, limite di quoziente di polinomi. Teorema del confronto. Limiti notevoli. Funzioni continue. Teoremi sulle funzioni continue. Asintoti. Derivate: definizione, significato geometrico. Operazioni: somma, prodotto, quoziente, prodotto per scalare. Tecniche di derivazione, derivate delle principali funzioni. Equazione della retta tangente in un punto al grafico. Derivata di una funzione composta e delle funzioni inverse. Punti stazionari. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange. Monotonia e segno della derivata prima. Derivate seconde, concavità, flessi. Studio completo di funzione. Teoremi di Cauchy e De l’Hopital. Problemi di ottimizzazione. Polinomio di Taylor. Formula del resto di Lagrange: calcolo esplicito nel caso n=2 e poi generalizzazione. Coniche come luoghi geometrici. Classificazione delle coniche.

Integrazione di funzioni di variabile reale

Introduzione agli integrali: il problema del calcolo dell’area di una regione piana. Il teorema fondamentale del calcolo integrale, integrali definiti. Il teorema della media. Integrazione per parti e sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali.

Curve parametriche

Definizione di curva parametrica. Passaggio da parametrica a cartesiana. Esempi: circonferenza, cicloide, coniche. Vettore e versore tangente, lunghezza dell’arco di curva.

 

Fra i testi a livello univarsitario di analisi matematica segnaliamo:

Robert A. Adams Calcolo Differenziale I, ed. CEA (Casa Editrice Ambrosiana)

A. Malusa e G. Crasta, “Elementi di Analisi Matematica e Geometria”, Edizioni La Dotta, 2017

Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli

Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti “Calcolo differenziale e algebra lineare”, Mc Graw-Hill

G.B. Thomas, R.L. Finney Elementi di Analisi Matematica e Geometria Analitica ed. Zanichelli (fuori catalogo)

Inoltre vi consigliamo:
Courant, Robbins “Che cos’ è la Matematica?” ed. Boringhieri