Modelli e Teorie

Leonhard_EulerIntroduzione al corso
Metodi Matematici e Statistici 13 marzo 2012
Il corso introduce alcuni metodi matematici per affrontare problemi di progettazione urbana.

Il corso di Metodi Matematici e Statistici è anche un corso sul metodo per lo studio di problemi di progettazione urbana.

Un metodo piuttosto fruttuoso per studiare la realtà è infatti quello della fisica. La fisica si preoccupa di proporre modelli matematici che si comportano più o meno come i fenomeni da studiare.

Se questa corrispondenza funziona allora diciamo che i modelli possono prevedere la realtà, con un certo margine di errore.

Il pendolo, per esempio, è un modello matematico molto semplice, descritto dalle equazioni lineari della legge di Hook.
\[
\begin{eqnarray*}
\dot x&=y\\
\dot y&=-kx
\end{eqnarray*}
\]
dove il punto sopra le variabili indica la derivazione rispetto al tempo.
Risolte le equazioni, sarà possibile rispondere a domande del tipo se il pendolo alle 12:34 si trova nella posizione \(\phi\), allora alle 13:45 si troverà nella posizione \(\phi_1\)?.

Successivamente si dovrà effettuare un esperimento, i cui risultati verranno utilizzati per verificare la bontà del modello. Se il modello funziona, allora diremo che le equazioni sono corrette, e magari possiamo usarle per far funzionare qualcosa, un treno, un orologio, un televisore, mentre se le previsioni del modello sono sbagliate (nell’ambito dei suoi limiti di validità) allora cerchiamo un altro modello.

Per capire un fenomeno è molto utile idealizzarne le proprietà rappresentandole per mezzo di equazioni matematiche, ma per scrivere queste equazioni è necessario prima di tutto scegliere le variabili giuste e studiare solo il loro comportamento, trascurando tutto il resto. Questo apparente limite è la naturale conseguenza dell’impossibilità di tenere conto simultaneamente di tutte le caratteristiche del fenomeno che vogliamo studiare, soprattutto quando si ha a che fare con sistemi complessi come i sistemi urbanistici che sono l’oggetto di studio di questo corso.

La modellizzazione onnicomprensiva, quella che vorrebbe tenere conto di tutti i possibili aspetti di un fenomeno, non è realizzabile, perché se anche riuscissimo a individuare tutte le variabili in gioco, cosa in genere impossibile, otterremmo comunque equazioni talmente complicate, da rendere impraticabile sia la loro soluzione che la loro simulazione numerica. E pi questo non significa capire. Capire infatti non vuol dire riprodurre il fenomeno, ma comprenderne il meccanismo, anche se l’output può essere lo stesso.
Insomma c’è la stessa differenza tra un brano di musica riprodotto su un cd e lo stesso brano eseguito con uno strumento musicale.

Stabilito perciò che la regola del gioco è quella di accettare un certo livello di idealizzazione, la domanda successiva è come si faccia a scegliere le variabili giuste, a idealizzare l’oggetto in modo tale da ottenere risultati soddisfacenti o previsioni sensate per il suo comportamento. Questa una forma di arte, un gioco intellettuale in cui la fantasia svolge un ruolo dominante. Ma il gioco non è certo arbitrario perché i suoi risultati devono essere sottoposti a verifica, che avviene per mezzo di esperimenti, che però nel caso della pianificazione o della modellizazione urbanistica possono in alcuni casi risultare di difficile realizzazione.

Per capire se l’idealizzazione scelta per lo sviluppo di un modello sia legittima o meno, oltre al confronto con il dato sperimentale, si può ricorrere anche al confronto con altri modelli che utilizzino variabili differenti. Il confronto tra modelli dello stesso fenomeno può infatti fornire importanti indicazioni sulla rilevanza delle variabili scelte per la descrizione del fenomeno. Continuando a sviluppare e a confrontare modelli, si accumula gradualmente esperienza sul problema, e aumenta la capacità di sviluppare teorie, cioè di proporre nuovi modelli.

Le semplificazioni, i modelli, le teorie, forniscono importanti indizi su cosa sia determinante o meno per spiegare un fatto, mentre le esperienze acquisite, le scelte delle variabili e le descrizioni della loro evoluzione dinamica, si possono anche esportare da un modello all’altro. Un comportamento paradigmatico, come per esempio una rottura di simmetria, può diventare uno schema mentale che fa scattare un campanello d’allarme in presenza di fenomeni analoghi in altri campi. È spontaneo allora chiedersi se un fenomeno di brusca transizione sociale, come per esempio la caduta di un regime o la modifica di uno status collettivo, non possa essere spiegato in termini di rottura di simmetria in modo formalmente analogo a quello che accade per esempio nei sistemi ferromagnetici.

Possiamo perciò stabilire, come punto di partenza, che il metodo giusto per capire sia quello di conoscere e studiare un insieme di modelli fondamentali che rappresentano fenomeni paradigmatici. Alcuni esempi si possono trovare nei fenomeni di risonanza stocastica, in quelli che governano le transizioni di fase, e possono essere utili per comprendere se altri fenomeni, non tradizionalmente oggetto di studio della fisica teorica, possano essere rappresentati in questi termini. L’estensione dei modelli ad altri ambiti stimola anche la creazione di nuovi strumenti matematici che possono non essere evidenti nelle discipline di partenza, ma che diventano determinanti quando i modelli vengono adattati per spiegare fenomeni nuovi.

Se l’analisi e lo studio del modello vengono condotti in modo corretto e rigoroso, allora le discrepanze tra le previsioni e i dati sperimentali sono un segnale della necessità di introdurre nuove variabili, o talvolta di nuove proprietà da prendere in considerazione. Per chiarire questo concetto possiamo pensare all’esempio di una piccola sfera di acciaio che cade su un piano metal- lico orizzontale. Se siamo interessati al moto della sfera possiamo senza errore considerarla come un punto materiale soggetto alla forza di gravità. Se però vogliamo capire con funzionano le forze elastiche che agiscono nella sfera, allora non possiamo più vederla come un punto materiale, ma dobbiamo studiarla come un corpo rigido soggetto a forze elastiche, con le proprietà di deformazione caratteristiche dell’acciaio e così via.

È chiaro che le variabili scelte dipendono solo dalle domande alle quali vogliamo dare una risposta, e che un modello permette di rispondere ad alcune domande, ma non ad altre.

I modelli dipendono dalle relazioni quantitative tra le grandezze scelte. Possiamo per esempio trascurare l’attrito in un pendolo, considerando le sue oscillazioni in un tempo molto breve, in cui gli effetti dell’attrito non siano visibili, ma quando diciamo piccolo o grande stiamo facendo considerazioni qualitative necessarie per decidere le sue caratteristiche. Una volta scelto il modello e stabilite le variabili e le relazioni quantitative tra di esse, da quel momento quello è l’oggetto che dobbiamo considerare. È allora inutile prendere in considerazione altre possibili variabili, e non vale neanche criticare il modello affermando che non tiene conto di alcuni aspetti o di altri del fenomeno. Una volta che il modello è stato scelto non si deve fare altro che risolverlo e confrontarne le previsioni e i comportamenti con i dati reali per mezzo di un esperimento, che è una misura quantitativa, che, come abbiamo detto all’inizio, nel caso dei sistemi urbanistici puà risultare particolarmente complessa.

In questo corso verrà introdotto uno strumento molto importante per la rappresentazione matematica dei sistemi urbanistici: il concetto di probabilità. La probabilità in qualche senso fa parte del modo di ragionare spontaneo della mente umana, anche se è stata rappresentata in modo formalmente rigoroso solo da pochi secoli, ed è un campo della matematica che continua a produrre moltissimi risultati nuovi. Nelle lezioni successive cercheremo di porre le basi per un uso corretto di questo strumento.