Il Concetto di Probabilità


Misure di probabilità
Possiamo definire una misura come una funzione che attribuisce un numero reale non negativo ai sottoinsiemi di un dato insieme, in modo tale da rendere quantitativa la nozione della loro estensione.
Per esempio possiamo assegnare lunghezze a segmenti di curva, aree a superfici, volumi a figure tridimensionali e probabilità ad eventi.

In particolare la probabilità è una misura positiva normalizzata a 1.
Vedremo nelle prossime pagine il significato profondo di questa frase, per ora possiamo accontentarci del concetto intuitivo secondo il quale una probabilità è un modo per misurare qualcosa che appartiene ad un insieme di eventi.

Definizione di Probabilità

Cominciamo allora con un insiema di eventi \(A=\{A_1, A_2, \ldots, A_n \}\) che siano mutuamente esclusivi: se ne capita uno non ne può capitare contemporaneamente un altro, e la loro intersezione è quindi l’insieme vuoto.
Pensiamo per esempio al lancio di una moneta. Gli eventi testa e croce sono mutuamente esclusivi perché se esce testa non esce croce (in un solo lancio) e viceversa.
Possiamo allora dire che \(p_n\) è la probabilità dell’evento \(A_n\) se \(p_n\) è un numero tale che
\[\begin{eqnarray*}
&p(A_i)\equiv p_i\geq0 \quad i=1,2,\ldots,n\\
\\
&\sum_{i=1}^np_i=1\\
\end{eqnarray*}\]
Se gli eventi \(A\) rappresentano un insieme completo, se cioè ricoprono tutti i possibili eventi che possono capitare (in quell’ambito) e se \(B\) è un sottoinsieme dell’insieme \(A\), possiamo allora scrivere
\begin{equation}
P(B)\equiv\sum_{k\in B}p(A_k)=\sum_{k\in B}p_k
\label{uno}
\end{equation}
come la probabilità che si verifichi un evento che appartiene all’insieme \(B\).
L’equazione [\(\ref{uno}\)] è una regola generale per calcolare le probabilità di eventi complicati partendo dalla probabilità di eventi elementari.

Per esempio nel caso del lancio di un dado a sei facce, possiamo cercare di calcolare la probabilità che lanciando il dado si verifichi l’evento esce un numero primo. Questo evento è il sottoinsieme \(A=\{1,2,3,5\}\) dell’insieme completo autoescludente dei numeri interi positivi minori di 7, dove abbiamo incluso anche il numero 1 nell’elenco dei numeri primi per semplicità. Bene, allora la probabilità di \(A\) è data da \(p(1)+p(2)+p(3)+p(5)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3\).

Le proprietà della probabilità

Le proprietà fondamentali della probabilità sono le seguenti:
\begin{eqnarray*}
P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\
P(A)\geq0\\
P(\emptyset)=0\\
P(I)=1
\end{eqnarray*}
dove con \(I\) abbiamo indicato l’isieme tutto, cioè l’insieme di tutti i possibili eventi.
La prima proprietà si comprende facilmente osservando il disegno seguente:
Figura1
Se sommiamo l’area A e l’area B non otteniamo l’area della figura in nero perché l’area \(A\cap B\) viene contata due volte.
Per calcolare l’area nera dobbiamo sottrarre l’area dell’intersezione di \(A\) e \(B\).
Questo semplice esempio mostra come sia necessario procedere in modo attento quando si misurano le cose, e in particolare quando si misura la probabilità degli eventi.

Se due insiemi non hanno elementi in comune, allora la loro intersezione è l’insieme vuoto, i due insiemi sono autoescludenti, i due eventi corrispondenti sono incompatibili, e la probabilità dell’intersezione è nulla:
\begin{equation}
P(A\cap B)=P(\emptyset)=0
\end{equation}

Gli eventi autoescludenti sono fondamentali nella teoria della probabilità, perché servono per costruire gli insiemi elementari che vengono utilizzati per calcolare le probabilità di eventi complessi.
Chiamiamo {\sl insieme completo autoescludente} un insieme di elementi tali che ciascuna coppia di essi abbia come intersezione l’insieme vuoto:

\begin{equation}
\{H_i : i=1,2,\ldots, M\quad |\quad H_i\cap H_j = \emptyset,\quad \forall i,j=1,2,\ldots,M\quad \bigsqcup_{i=1}^M H_i=I \}
\end{equation}
Figura2

Dalle proprietà fondamentali della probabilità possiamo subito vedere che la probabilità di un evento qualsiasi \(A\) che si trovi nel quadrato unitario, è data dalla somma delle probabilità delle intersezioni tra gli insiemi \(H_i\) e l’insieme \(A\):
\begin{equation}
P(A)=\sum_{i=1}^MP(A\cap H_i)
\end{equation}
Infatti poiché gli insiemi \(H_i\) ricoprono lo spazio senza sovrapporsi in modo tale che ogni coppia di \(H_i\) non si intersechi, \(H_i\cap H_j=\emptyset\quad\forall i,j\) allora l’area \(A\) è proprio la somma delle aree delle intersezioni tra \(A\) e le \(H_i\), come si vede nella figura seguente:
Figura3