Limite per \(k\) piccolo di una distribuzione binomiale

Simeon_Poisson
Proviamo ad esplorare la distribuzione binomiale \(B(N,k,p\) nel caso in cui il numero di eventi \(N\) è grande, la probabilità di successo è piccola, ma il prodotto

\[\lambda\equiv Np\]

è finito.

Possiamo procedere partendo dal calcolo della probabilità di 0 successi per \(N\) tentativi, e calcolare quindi

\[B(N,0,p)=\binom{N}{0}p^0q^{N-0}={N!\over0!(N-0)!}q^N=(1-p)^N=(1-{\lambda\over N})^N\]

dove abbiamo utilizzato il parametro \(\lambda=Np\), che è proprio il valore di attesa di una distribuzione binomiale.

Proviamo a fare lo stesso conto con \(N\) grande e \(k=1\):

\[B(N,1,p)=\binom{N}{1}p^1q^{N-1}={N!\over1!(N-1)!}p^1q^{N-1}=Npq^{N-1}=\lambda(1-{\lambda\over N})^{N-1}\]

Proviamo allora a calcolare il logaritmo di \(B(N,0,p)=(1-{\lambda\over N})^N\):

\begin{eqnarray}
\label{logk0}
\log B(N,0,p) & = & \log (1-{\lambda\over N})^N\\
& = & N\log (1-{\lambda\over N})\\
&\approx& N\Big(-{\lambda\over N}+o({1\over N})\Big)=-N{\lambda\over N}=-\lambda
\end{eqnarray}

dove abbiamo utilizzato lo sviluppo in serie di Taylor di \(\log(1+x)\) per approssimare \(\log(1-{\lambda\over N})\) con \(-\lambda\over N\).

Siccome \(N\) è grande, si ha

\[B(N,0,p)=e^\lambda +o({1\over N})\]

Calcoliamo allora la probabilità di avere un solo successo, \(k=1\)

\begin{eqnarray}
B(N,1,p) & = & Npq^{N-1}\\
& = & Np(1-p)^{N-1}\\
&=&\lambda\Big(1-{\lambda\over N}\Big)^{N-1}
\end{eqnarray}

e quindi

\begin{eqnarray}
\log B(N,1,p) & = & \log (\lambda)+\log (1-{\lambda\over N})^{N-1}\\
& =&\log(\lambda) +(N-1)\log (1-{\lambda\over N})\\
&\approx& \log(\lambda)-\lambda
\end{eqnarray}

ed eliminando il logaritmo

\[B(N,1,p) \approx e^{\log(\lambda)-\lambda}=e^{-\lambda}e^{\log(\lambda)}=\lambda e^{-\lambda}\]

Con lo stesso criterio si può fare il conto per \(k=2\) e \(k=3\) (è consigliabile provarci).

In generale si ha

\[B(N,k,p)\approx {\lambda^k\over k!}e^{-\lambda}\]

che è proprio la distribuzione di Poisson