Digressione: lo sviluppo in serie di Taylor

brook_taylorSe prendiamo una funzione reale \(f(x)\) possiamo, sotto opportune ipotesi sul suo comportamento, possiamo svilupparla intorno ad un punto \(x=a\) utilizzando la formula di Taylor seguente:

\begin{eqnarray}
f(x) &=& f(a)+f'(a)(x-a)+f”(a){(x-a)^2\over2!}+\\
&+&f^{(3)}(a){(x-a)^3\over3!}+\ldots+f^{(n)}(a){(x-a)^n\over n!}+\ldots
\end{eqnarray}

Dove con l’apice indichiamo il grado della derivata. Se scegliamo il punto \(a=0\) lo sviluppo in serie si chiama serie di Maclaurin.

Il teorema di Taylor afferma che qualsiasi funzione che soddisfa alcune condizioni può essere sviluppata in serie di Taylor.

Sviluppo di \(e^x\)

Possiamo sviluppare in serie di Maclaurin la funzione \(y=e^x\) osservando che \({df\over dx}=e^x\) e quindi tutte le derivate sono uguali a \({d^nf\over dx^n}=e^x\) e quindi \(f(0)=f'(0)=f”(o)=\ldots=1\)

Abbiamo quindi

\[e^x=1+x+{x^2\over2!}+{x^3\over3!}+\ldots\]

Sviluppo di \(\log(1+x)\)

Osserviamo che se \(x>-1\)

\[\int_0^x{dt\over 1+t}=\log(1+t)\Big|_0^1=\log(1+x)-\log1=\log(1+x)\]

Calcoliamo le derivate:

\[{d\over dt}({1\over(1+t)})=-{1\over (1+t)^2} \Rightarrow ({d\over dt}{1\over 1+t})\Big|_{t=0}=-1\]

\[{d^2\over dt^2}({1\over(1+t)})={2\over (1+t)^3} \Rightarrow ({d^2\over dt^2}{1\over 1+t})\Big|_{t=0}=2\]

\[{d^3\over dt^3}({1\over(1+t)})={-2\cdot3\over (1+t)^4} \Rightarrow ({d^3\over dt^3}{1\over 1+t})\Big|_{t=0}=-2\cdot3\]

Quindi possiamo sviluppare la funzione \(f(t)={1\over 1+t}\) nel modo seguente

\begin{eqnarray}
{1\over1+t} &=& {1\over 1+t}\Big|_{t=0}+{d\over dt}{1\over 1+t}\Big|_{t=0}t+{d^2\over dt^2}{1\over 1+t}\Big|_{t=0}{t^2\over 2!}+{d^3\over dt^3}{1\over 1+t}\Big|_{t=0}{t^3\over 3!}+\ldots\\
&=& 1-t +{2\over 2!}t^2-{2\cdot3\over3!}f^{(3)}(a){(x-a)^3\over3!}+\ldots\\
&=& 1-t+t^2-t^3+t^4-t^5+\ldots
\end{eqnarray}

Se inseriamo questa rappresentazione di \({1\over1+t}\) nell’espressione integrale del \(\log(1+x)\) e integriamo

\begin{eqnarray}
\log(1+x) &=&\int_0^x{dt\over1+t}\\
&=& \int_0^x[1-t+t^2-t^3+t^4-t^5+\ldots]dt\\
&=&t\Big|_0^x-{t^2\over2}\Big|_0^x+{t^3\over3}-\Big|_0^x{t^4\over4}\Big|_0^x+{t^5\over5}\Big|_0^x+\ldots\\
&=&x-{x^2\over2}+{x^3\over3}-{x^4\over4}+{x^5\over5}-{x^6\over6}\ldots
\end{eqnarray}

che converge solo se \(|x|<1\) o \(x=1\).

Vediamo quindi che \(\log(1+x)\) può essere approssimato con \(x\), per \(x\) piccolo, approssimazione che risulterà molto utile per calcolare il limite di Poisson di una distribuzione binomiale.