Squali Lotterie e distribuzione di Poisson

LoSqualo di Byron Schmuland

Il 7 settembre 2001 sul quotidiano National Post venne pubblicato un articolo dal drammatico titolo  “Shark attacks attributed to random Poisson burst“.
Nell’articolo il prof. David Kelton della Penn State University utilizzava un modello statistico per cercare di spiegare il sorprendente numero di attacchi di squali in Florida nell’estate precedente.

David Kelton affermava che l’ondata di attacchi poteva non avere niente a che fare con il cambiamento delle correnti, con la diminuzione delle risorse alimentari o con altre cause del genere.

“Il fatto che vediamo degli eventi un po’ concentrati in un piccolo intervallo di tempo non implica necessariamente che ci sia qualche nuova causa scatenante. E’ un comportamento caratteristico dei processi random caratterizzati da comportamenti a raffica” aveva scritto Kelton nell’articolo.

Cosa significa comportamento a raffica?
E’ possibile fare un modello matematico che spieghi i numerosi attacchi di squali?
E cosa sono questi burst di Poisson?

 

Il punto fondamentale del ragionamento del prof. Kelton è che gli attacchi degli squali non avvengono ad intervalli regolari, come nella figura seguente

eventi regolari

ma piuttosto compaiono in “cluster” come nella figura:

eventi irregolariQuesto significa che ci saranno periodi in cui gli attacchi saranno meno del loro valore medio,  periodi in cui gli attacchi saranno più del valore medio e periodi in cui non ci saranno attacchi.

Il modello statistico usato per studiare questo tipo di successioni di eventi casuali prende il nome dal matematico francese Siméon Denis Poisson (1781-1840) che espose quella che si chiama distribuzione di Poisson per la prima volta in un testo di giurisprudenza.

La distrinuzione di Poisson può essere utilizzata per calcolare la probabilità che in un particolare periodo si verifichi un numero anomalo di eventi, o non se ne verifichino affatto.

Da quando fu pubblicata la prima volta, la distribuzione di Poisson è stata applicata ad un grandissimo numero di fenomeni, dal decadimento radioattivo agli studi del traffico sulla rete web. La formula della distribuzione di Poisson è la seguente:

La probabilità che si verifichino \(k\) eventi è \[{\lambda^k\over k!}e^{-\lambda}\] con \(k=0,1,2,3,\ldots\). Se sappiamo qual è il numero medio di attacchi per stagione possiamo allora calcolare la probabilità che nell’ultima stagione si siano verificati un certo numero di attacchi.

Supponiamo allora che, sperimentalmente, sappiamo che negli ultimi anni si sono verificati in media due attacchi di squali per estate, cioè \(\lambda=2\).

Inserendo questo valore nella formula di Poisson possiamo calcolare, ponendo \(k=6\), la probabilità che questa estate vi siano 6 attacchi:

\[
P(\lambda=2,k=6)={2^6\over6!}e^{-2}\approx0.01203
\]

che è poco più dell’1%. Questo significa che la probabilità che si verifichino sei attacchi è molto piccola, anche se l’evento potrebbe accadere almeno una volta in cinquanta anni.

Se invece vogliamo calcolare la probabilità che la prossima estate non vi siano attacchi possiamo usare la stessa formula con \(k=0\):

\[
P(\lambda=2,k=0)={2^0\over0!}e^{-2}\approx0.13533
\]

che è circa il 13%, un po’ poco per un evento così pericoloso.

Il Superenalotto

Ogni giorno molte persone giocano al Superenalotto, un gioco un cui si devono indovinare sei numeri estratti a caso tra 1 e 90 per vincere il jackpot, in genere molto sostanzioso.
Le possibili combinazioni sono quindi

\[
{90 \choose 6}={90!\over6!(90-6)!}= 622 614 630
\]

e la probabilità di vincere al Superenalotto comprando un solo biglietto è

\[p={1\over{90\choose 6}}={1\over 622 614 630}=1.60612\times10^{-9}=0.00000000160613\]

Supponiamo allora che un giocatore appassionato giochi al Superenalotto due volte a settimana per 100 anni.
Dopo 100 anni avrà acquistato \(2\times52\times100=10400\) biglietti. Qual è la probabilità che vinca il Jackpot nel corso di questi 100 anni?
Usiamo ancora una volta la formula di Poisson. Il numero medio di Jackpot in questo lungo periodo è
\[\lambda=Np=10400/622 614 630=0.0000167038\]
inserendo questo valore nella formula di Poisson con \(k=0\) vediamo che la probabilità di non vincere neanche un Jackpot per tutta la durata dei 100 anni è circa
\[e^{-0.0000167038}=0.999983\]
cioè sostanzialmente del 99.9%. Un gioco decisamente molto sfavorevole.