Distribuzione di Poisson

sdpoissonOltre ad essere vista come il limine naturale della distribuzione binomiale, la distribuzione di Poisson può essere vista anche come una distribuzione indipendente, caratterizzata da un parametro \(\lambda\).

La definiamo come

\[P(k,\lambda)={\lambda^k\over k!}e^{-\lambda}\]

Dimostriamo che è normalizzata:

\begin{eqnarray}
\sum_{k=o}^\infty P(k,\lambda) &=& \sum_{k=o}^\infty {\lambda^k\over k!}e^{-\lambda}\\
&=&e^{-\lambda}\sum_{k=o}^\infty{\lambda^k\over k!}=e^{-\lambda}e^\lambda=1
\end{eqnarray}

Calcoliamo anche la varianza

 

\begin{eqnarray}
\sigma^2 &=& E(x^2)-E(x)^2\\
&=& E(x^2)-\lambda^2\\
&=&\sum_{k=o}^\infty k^2 P(k,\lambda)-\lambda^2\\
&=&\sum_{k=0}^\infty k^2 e^{-\lambda}{\lambda^k\over k!}-\lambda^2\\
&=&e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty{k^2\over k!}\lambda^k-\lambda^2\\
&=&e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty{k\over (k-1)!}\lambda\lambda^{k-1}-\lambda^2\\
&=&\lambda\Big(\sum_{k=0}^\infty{k e^{-\lambda}\lambda^{k-1}\over (k-1)!}-\lambda\Big)\\
&=&\lambda\Big(\sum_{k=0}^\infty kP(k-1,\lambda)-\lambda\Big)\\
&=&\lambda\Big(\sum_{k=0}^\infty (h+1)P(h,\lambda)-\lambda\Big)\qquad\Leftarrow k-1=h, k=h+1\\
&=&\lambda\Big(\sum_{k=0}^\infty h P(h,\lambda)+\sum_{k=0}^\infty P(h,\lambda)-\lambda\Big)\\
&=&\lambda(\lambda+1-\lambda)=\lambda
\end{eqnarray}

Quindi la distribuzione di Poisson ha la media e la varianza uguali