Integrali Gaussiani

gaussAvremo spesso a che fare con integrali del tipo

\[
\int_{-\infty}^\infty e^{-a x^2}dx \qquad \text{o}\qquad \int_{-\infty}^\infty x^2 e^{-a x^2}dx
\]

Vediamo come si calcolano.
Ricordiamo per prima cosa le formule di trasformazione dalle coordinate cartesiane a quelle polari:

\begin{eqnarray}
x&=&r\cos(\theta)\\
y&=&r\sin(\theta)
\end{eqnarray}
dove \(r\geq0\) e \(0\geq\theta<2\pi\)
L’elemento di area in coordinate polari è dato da \(rdrd\theta\)

Calcoliamo allora l’integrale \(\int_{-\infty}^\infty e^{-a x^2}dx\).
Poiché non possiamo utilizzare metodi noti come il cambiamento di variabile o l’integrazione per parti, proviamo a calcolare il quadrato di questo integrale:
\[\Big[\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\Big]^2=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dxdy\]
dove abbiamo sfruttato il fatto che la variabile d’integrazione è una variabile muta.
Possiamo scrivere questo integrale in coordinate polari, osservando che \(x^2+y^2=r^2\) e che \(dxdy\) è l’elemento di area in coordinate cartesiane corrispondente all’elemento di area in coordinate polari \(rdrd\theta\).
Perciò
\[\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\int_0^{2\pi}d\theta\int_{0}^\infty e^{-r^2}rdr\]
dove gli estremi dell’integrale sono diventati \((0,2\pi)\) per la variabile \(\theta\) e \((0,\infty)\) per la variabile \(r\).
L’integrale doppio ottenuto è molto semplice da calcolare con il metodo del cambiamento di variabile: