Programma del corso di Istituzioni di Matematiche II 2015-16

Docenti: Laura Tedeschini Lalli, Valerio Talamanca

Algebra lineare dal punto di vista geometrico:

Spazi vettoriali bidimensionale e tridimensionale. Vettori e versori nel piano e nello spazio tridimensionale. Prodotto scalare, prodotto vettoriale.prodotto misto, loro significato geometrico.
Equazioni di rette e piani nello spazio in forma parametrica e cartesiana; rette parallele, incidenti, sghembe; intersezioni tra rette e piani; distanza tra punti in R3, distanze punto-retta, punto-piano, retta-piano, parallelismo tra piani. Matrici: operazioni di somma e prodotto, determinante. Tutti gli argomenti consistono equivalenza tra il trattamento per componenti (o coordinate cartesiane) e quello geometrico (modulo, direzione, verso). Determinate come fattore di scala per l’area.

Trasformazioni lineari del piano e classificazione delle coniche:

Trasformazioni del piano. Trasformazioni lineari. Rotazioni attorno all’origine, riflessione rispetto ad una retta per l’origine. Composizione di rotazioni. Definizione di isometria. Rotazioni, traslazioni e riflessioni sono isometrie. Traslazioni e rotazioni del piano e loro effetto sulle coniche e sulle loro equazioni. Coniche nel piano: descrizione come luoghi geometrici, equazioni standard, invarianti. Problema del riconoscimento di una conica in forma generale e sua soluzione. Coniche da altri punti di vista: fuochi e direttrici.

Calcolo infinitesimale nello spazio tridimensionale:

(prerequisiti: Calcolo di una variabile)

Superfici quadriche: Paraboloidi, Iperboloidi, Coni, Cilindri, Ellissoidi. Equazioni, sezioni, curve di livello; e, inversamente: ricostruzione (schizzo ed equazione) di quadriche a partire dalle loro sezioni.

Funzioni reali di due o piu’ variabili reali: dominio di definizione; rappresentazioni piane di funzioni z=f(x,y): curve di livello, sezioni e loro disegno. Superfici con variabili libere (o cilindriche). Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Controesempi. Derivate parziali di primo ordine e successivi. Derivata direzionale. Differenziabilità. Piano tangente e retta normale. Gradiente di una funzione, relazione tra il gradiente e gli altri aspetti geometrici della superficie: curve di livello, piano tangente, direzione di massima pendenza. Formula di Taylor in più variabili. Studio della natura dei punti critici: massimi, minimi relativi e punti di sella per funzioni di due variabili, determinante Hessiano. Integrali multipli: domini di integrazione verticalmente ed orizzontalmente semplici; integrali doppi come integrali iterati su domini semplici; inversione dell’ ordine di derivazione; applicazioni al calcolo di aree e volumi.

Un argomento da sviluppare autonomamente (e che farà parte della argomentazione orale) a scelta tra:

  • Studio di una curva e degli strumenti storici per disegnarla dal sito macchine matematiche (ad esempio: almeno due diverse “macchine” per disegnare parabole, oppure almeno due diverse “macchine” per disegnare ellissi, oppure un invertitore di Paucellier…)
  • Costruzione geometrico-matematica delle coniche usando sketch-up o Grasshopper o PovRay o Rhino (in particolare si devono vedere tutti e due i rami dell’iperbole: altrimenti come la distinguete, al finito, da una parabola?)
  • Legge di riflessione dei raggi luminosi: Teorema di Erone (Courant-Robbins Cap. VII paragrafi 1.2 e poi un’ applicazione all’ellisse, o all’iperbole (Courant-Robbins Cap. VII paragrafi 1.4) o alla parabola (che sarete in grado di trovare in quanto alla base dei faretti e delle antenne paraboliche)
  • L’insieme ternario di Cantor (referenze: L’insieme ternario di Cantor e la curva di Peano G. Gorni; la voce Cantor set della Wiki in inglese.
  • Due esempi di uso delle coniche in architettura (capite)
  • Due esempi di uso delle superfici quadriche in architettura (capite)

Bibliografia:

      • R. Adams “Calcolo Differenziale 2, (funzioni di più variabili)” , quarta edizione, casa editrice Ambrosiana

O qualunque altro testo di livello universitario, ad esempio:

      • Bramanti-Pagani-Salsa: “Calcolo infinitesimale e algebra lineare Seconda edizione “
      • G.B. Thomas, R.L. Finney “Analisi Matematica” ed. Zanichelli (comprende la maggior parte degli argomenti delle due annualità di Matematica, ed i necessari esercizi, lo trovate in biblioteca)
      • Salsa- Squellati: ESERCIZI DI MATEMATICA volume 1 e volume 2.

Altri bei libri in cui troverete informazioni del tutto pertinenti sono:

      • Luciano Cresci “Le curve celebri”, Muzzio Editore, 1998
      • Courant, Robbins, “Che cos’è la matematica”, Bollati Boringhieri, 2000.
      • Modica Marcello, Santarella Francesca “Paraboloidi: un patrimonio dimenticato dell’architettura moderna” Edifir Edizioni, 2015

Modalità d’esame:

Per sostenere le prove scritta e orale e per verbalizzare l’esame è indispensabile prenotarsi entro una settimana dalla prova (scritta e/o orale) sul portale dello studente .

L’esame consiste di una prova scritta, ed una prova orale di tipo argomentativo, da sostenere nello stesso appello.

Attenzione! per scriverci per mail: Tutti gli studenti di Roma Tre sono forniti di mail istituzionale al momento dell’iscrizione. Per ragioni di sicurezza, e per tutelare la vostra privacy, aderendo all’invito della Segreteria centrale, risponderemo SOLO A MESSAGGI PROVENIENTI DA INDIRIZZI ISTITUZIONALI

risposte a FAQ:

      • Le prove scritta e orale fanno parte dello stesso esame, e vanno dunque svolte nello stesso appello. Cioè avete a disposizione solo la prova orale immediatamente seguente l’appello scritto che avete sostenuto.
      • L’esame si può sostenere una volta per sessione. Perchè? Perché abbiamo bisogno di dividervi in due appelli, e lasciamo che siate voi a scegliere. Perché salvo rare eccezioni, se non avete passato lo scritto due settimane prima, avete bisogno di ricontrollare la preparazione, e non solo di riempire buchi. Siamo a disposizione per questo durante l’orario di ricevimento.
      • Perché qua serve una settimana di anticipo per la prenotazione, a differenza da altri esami? Perché un esame scritto ha bisogno di organizzazione logistica e di materiale approntato, e voi siete molti. La segreteria ha poi deciso di unificare l’esigenza su tutte le prove per semplicità organizzativa. Il nostro parere è che questa norma la conoscono tutti non appena leggono il programma d’esame, quindi non c’e’ problema.
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE 2 – Vecchio Ordinamento (laurea quinquennale) IST2_programmaVO