Istituzioni Matematiche I 2017-18

Istituzioni di Matematiche I Programma 2017-2018

Quantificatori. I numeri: naturali, interi, razionali, reali. Assiomi dei numeri reali.

Coordinate cartesiane nel piano. Punti e vettori. Distanza: definizione formale. Valore assoluto. Densità di Q in R. Distanza nel piano. Equazione circonferenza: dal luogo di punti all’equazione. Sezione aurea: definizione, costruzione con riga e compasso e con piegature della carta. Costruzione di radice di 2 con piegature della carta, proprietà del formato “A”.

Algebra lineare

Somma di vettori, prodotto scalare. Equivalenza della formulazione geometrica e in coordinate. Matrici 2×2: operazioni di somma e prodotto, determinante. Rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari: teorema di rappresentazione. Significato geometrico del determinante. Applicazioni alle trasformazioni, altre interpretazioni del determinante. Matrici di rotazione e omotetie. Equazione parametrica della retta. Condizioni di ortogonalità. Riflessione rispetto ad una retta. Introduzione alle funzioni. Grafici.

Funzioni di una variabile e loro derivate

Operazioni con i grafici, valore assoluto di un grafico, traslazioni orizzontali e verticali, dilatazioni. Esponenziale, logaritmo di una funzione di cui si sa il grafico. Insieme aperti e chiusi, punti di accumulazione, definizioni ed esempi. Definizione di limite. Operazioni con i limiti, limite di quoziente di polinomi. Teorema del confronto. Limiti notevoli. Funzioni continue. Teoremi sulle funzioni continue. Asintoti. Derivate: definizione, significato geometrico. Operazioni: somma, prodotto, quoziente, prodotto per scalare. Tecniche di derivazione, derivate delle principali funzioni. Equazione della retta tangente in un punto al grafico. Derivata di una funzione composta e delle funzioni inverse. Punti stazionari. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange. Monotonia e segno della derivata prima. Derivate seconde, concavità, flessi. Studio completo di funzione. Teoremi di Cauchy e De l’Hopital. Problemi di ottimizzazione. Polinomio di Taylor. Formula del resto di Lagrange: calcolo esplicito nel caso n=2 e poi generalizzazione. Coniche come luoghi geometrici. Classificazione delle coniche.

Integrazione di funzioni di variabile reale

Introduzione agli integrali: il problema del calcolo dell’area di una regione piana. Il teorema fondamentale del calcolo integrale, integrali definiti. Il teorema della media. Integrazione per parti e sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali.

Curve parametriche

Definizione di curva parametrica. Passaggio da parametrica a cartesiana. Esempi: circonferenza, cicloide, coniche. Vettore e versore tangente, lunghezza dell’arco di curva.

 

Fra i testi a livello univarsitario di analisi matematica segnaliamo:

Un ottimo libro di calcolo americano, messo online dalla casa editrice Springer, guardate tutti e tre i volumi, alcuni argomenti del corso vengono trattati nel terzo

https://authors.library.caltech.edu/25030/

Robert A. Adams Calcolo Differenziale I, ed. CEA (Casa Editrice Ambrosiana)

A. Malusa e G. Crasta, “Elementi di Analisi Matematica e Geometria”, Edizioni La Dotta, 2017

Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli

Giovanni Naldi, Lorenzo Pareschi, Giacomo Aletti “Calcolo differenziale e algebra lineare”, Mc Graw-Hill

G.B. Thomas, R.L. Finney Elementi di Analisi Matematica e Geometria Analitica ed. Zanichelli (fuori catalogo)

Inoltre vi consigliamo:
Courant, Robbins “Che cos’ è la Matematica?” ed. Boringhieri

 

Risultati appello scritto del 4 settembre 2018

Risultati appello scritto del 9 luglio 2018

Risultati appello scritto del 18 giugno 2018

Risultati appello scritto del 19 febbraio 2018

Risultati appello scritto del 30 gennaio 2018

Risultati della seconda prova in corso d’anno

Ammissione all’orale sulla base delle prove in corso d’anno