Istituzioni di Matematiche 2 Programma 2018-2019

Il programma è in corso di aggiornamento

Algebra lineare dal punto di vista geometrico
Spazi vettoriali bidimensionale e tridimensionale. Vettori e versori nel piano e nello spazio tridimensionale. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto, loro significato geometrico.
Equazioni di rette e piani nello spazio in forma parametrica e cartesiana; rette parallele, incidenti, sghembe; intersezioni tra rette e piani; distanza tra punti in R3, distanze punto-retta, punto-piano, retta-piano, parallelismo tra piani. Tutti gli argomenti consistono equivalenza tra il trattamento per componenti (o coordinate cartesiane) e quello geometrico (modulo, direzione, verso).

Remind: nel corso di Istituzioni di Matematiche 1 avete appreso ad usare il linguaggio dell’algebra lineare (vettori e matrici) per rappresentare trasformazioni del piano. Questo è molto utile. Data una matrice 2×2: rappresentazione grafica della sua trasformazione. Problema “inverso”: data la rappresentazione grafica di una trasformazione, scrivere la matrice che (applicata al piano) la produce.

Superfici quadriche
Paraboloidi, Iperboloidi, Coni, Cilindri, Ellissoidi. Equazioni, sezioni, curve di livello. Problemi “inversi”: a partire dall’informazione circa le sezioni di una quadrica, ricostruire il suo aspetto, ed  un’equazione che la rappresenta.
Superfici rigate e doppiamente rigate.

Solidi Platonici
I solidi platonici sono 5, formula di Eulero
Diagonali, sfere iscritte e circoscritte di poliedri.

Calcolo infinitesimale nello spazio tridimensionale:

(prerequisiti: Calcolo di una variabile)

Funzioni reali di due o più variabili reali: dominio di definizione; rappresentazioni piane di funzioni z=f(x,y): curve di livello, sezioni e loro disegno. Superfici con variabili libere (o cilindriche).

Insiemi aperti e chiusi, punti interni, esterni, di frontiera, isolati.
Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Controesempi. Derivate parziali di primo ordine e successivi.

Derivata direzionale. Differenziabilità. Piano tangente e retta normale. Gradiente di una funzione, relazione tra il gradiente e gli altri aspetti geometrici della superficie: curve di livello, piano tangente, direzione di massima pendenza. Formula di Taylor in più variabili. Studio della natura dei punti critici: massimi, minimi relativi e punti di sella per funzioni di due variabili, determinante Hessiano.

Integrali multipli: domini di integrazione verticalmente ed orizzontalmente semplici; integrali doppi come integrali iterati su domini semplici; inversione dell’ordine di derivazione; applicazioni al calcolo di aree e volumi.

Visualizzazione e softwares:

le strutture geometriche ed analitiche, specie nello spazio tridimensionale, vanno immaginate e (poi) visualizzate.

esercizi: visualizzare tutte le superfici studiate a lezione e negli esempi, ad esempio.

per passare l’esame: saper visualizzare le superfici quadriche canoniche in almeno uno dei software gratuitamente a disposizione; aver capito, tramite software, il ruolo geometrico/visualizzatore dei vari parametri dell’equazione (cambia scala, sposta a destra…).   (dalle forme alle formule e viceversa).

N.B. il software surfaces è una “matita”, non vi stiamo chiedendo di programmarlo.

Software disponibili per la visualizzazione open source, in homepage del corso,

Un argomento da sviluppare autonomamente (e che farà parte della argomentazione orale) a scelta tra:

  • due superfici, una simile ad una sella ed una simile ad un ellissoide, fatte con i piegamenti della carta. Con un solo foglio o modulari.
  • quadriche rigate: plastico di due rigate diverse, fatte con materiale a vostra scelta, corredate dalla spiegazione dettagliata su come le avete assemblate
  • un argomento a scelta preso da questi testi (alcuni li trovate nella biblioteca del Dipartimento di Architettura!):
    • “Flussi e riflussi” di Lucio Russo
    • “Le curve celebri” di Luciano Cresci
    • Courant, Robbins, “Che cos’è la matematica”, Bollati Boringhieri, 2000
    • una voce matematica nell’Enciclopedia Treccani degli anni ’30, disponibile nella nostra Biblioteca. Sono tutte sia chiare che rigorose (…raro).  Qui un escursus sulla storia della Treccani. Voi usate la versione cartacea ed i suoi rimandi. (non quello che trovate in rete, che è incompleto).
    • “Project origami: activities for exploring mathematics” Thomas Hull
    • “How to fold it: the mathematics of linkages, origami and polyhedra”
      di Joseph O’Rourke
    • L’America dimenticata. I rapporti tra le civiltà e un errore di Tolomeo, Lucio Russo