Programma del corso
Quantificatori. I numeri: naturali, interi, razionali, reali. Assiomi dei numeri reali.
Coordinate cartesiane nel piano. Punti e vettori. Distanza: definizione formale. Valore assoluto. Densità di Q in R. Distanza nel piano. Equazione circonferenza: dal luogo di punti all’equazione. Sezione aurea: definizione, costruzione con riga e compasso e con piegature della carta. Irrazionalità di radice di 2 (con dimostrazione).
Algebra lineare
Somma di vettori, prodotto scalare. Equivalenza della formulazione geometrica e in coordinate. Matrici 2×2: operazioni di somma e prodotto, determinante. Rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari: teorema di rappresentazione (enunciato). Significato geometrico del determinante. Applicazioni alle trasformazioni, altre interpretazioni del determinante. Matrici di rotazione e omotetie. Equazione parametrica della retta. Condizioni di ortogonalità.
Funzioni di una variabile e loro derivate
Introduzione alle funzioni. Grafici. Operazioni con i grafici, valore assoluto di un grafico, traslazioni orizzontali e verticali, dilatazioni. Esponenziale, logaritmo di una funzione di cui si conosce il grafico. Insieme aperti e chiusi, punti di accumulazione, definizioni ed esempi. Definizione di limite. Operazioni con i limiti, limite di quoziente di polinomi. Teorema del confronto (con dimostrazione). Limiti notevoli. Funzioni continue. Teoremi sulle funzioni continue. Asintoti. Derivate: definizione, significato geometrico. Operazioni: somma, prodotto, quoziente, prodotto per scalare. Tecniche di derivazione, derivate delle principali funzioni. Equazione della retta tangente in un punto al grafico. Derivata di una funzione composta e delle funzioni inverse. Punti stazionari. Teorema di Fermat (con dimostrazione). Teoremi di Rolle (con dimostrazione) e Lagrange. Monotonia e segno della derivata prima. Derivate seconde, concavità, flessi. Studio completo di funzione. Teoremi di De l’Hopital. Problemi di ottimizzazione. Polinomio di Taylor. Cenni alla formula del resto di Lagrange.
Integrazione di funzioni di variabile reale
Introduzione agli integrali: il problema del calcolo dell’area di una regione piana. Il teorema della media. Il teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Integrali definiti. Integrazione per parti e sostituzione.
Curve Coniche
Coniche come luoghi geometrici. Classificazione delle coniche attraverso il discriminante. Riportare una conica in forma canonica.
Testi consigliati e bibliografia
Marsden, Jerrold E. and Weinstein, Alan J. (1985) Calculus I. Springer-Verlag , New York. https://authors.library.caltech.edu/25030/
Robert A. Adams Calcolo Differenziale I, ed. CEA (Casa Editrice Ambrosiana)
Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli
G.B. Thomas, R.L. Finney Elementi di Analisi Matematica e Geometria Analitica ed. Zanichelli (fuori catalogo)