Istituzioni di Matematiche I Programma 2021-2022

Quantificatori. I numeri: naturali, interi, razionali, reali. Assiomi dei numeri reali.

Coordinate cartesiane nel piano. Punti e vettori. Distanza: definizione formale. Valore assoluto come distanza di un punto dall’origine. Densità di Q in R. Distanza nel piano. Equazione circonferenza: dal luogo di punti all’equazione. Irrazionalità di radice di 2 (con dimostrazione).

Algebra lineare

Somma di vettori, prodotto scalare. Equivalenza della formulazione geometrica e in coordinate. Equazione parametrica della retta. Condizioni di ortogonalità, parallelismo.

Funzioni di una variabile e loro derivate

Introduzione alle funzioni. Grafici. Operazioni con i grafici, valore assoluto di un grafico, traslazioni orizzontali e verticali, dilatazioni. Esponenziale, logaritmo di una funzione di cui si conosce il grafico. Insieme aperti e chiusi, punti interni, punti di frontiera. Definizione di limite. Operazioni con i limiti, limite di quoziente di polinomi. Teorema del confronto (con dimostrazione). Limiti notevoli. Funzioni continue. Teoremi sulle funzioni continue. Asintoti. Derivate: rapporto incrementale, significato geometrico della derivata. Operazioni con le derivate: derivata della somma, prodotto, quoziente, di due funzioni. Tecniche di derivazione, derivate delle principali funzioni. Equazione della retta tangente in un punto al grafico. Derivata di una funzione composta e delle funzioni inverse. Punti stazionari. Teorema di Fermat (con dimostrazione). Teoremi di Rolle (con dimostrazione) e Lagrange. Monotonia e segno della derivata prima. Derivate seconde, concavità, flessi. Studio completo di funzione. Teoremi di Cauchy e De l’Hopital (senza dimostrazione). Problemi di tipo modellistico (trovare equazioni che mettono in relazione variabili). Approssimazione lineare, approssimazione quadratica (polinomi di Taylor di primo e secondo ordine); polinomio di Taylor, formula generale. Formula del resto di Lagrange.

Integrazione di funzioni di variabile reale

Introduzione agli integrali: il problema del calcolo dell’area di una regione piana. Il teorema della media. Il teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Integrali definiti. Integrazione per parti e sostituzione.

Curve Coniche

Descrizione geometrica delle curve coniche; loro classificazione attraverso il discriminante; equazioni canoniche.

Canale A, per i frequentanti dell’anno 2021-22: approssimazione di una funzione con polinomi di Taylor di grado elevato con l’ausilio del computer; sovrapposizione dei due grafici per intervalli di lunghezza crescente

Canale B, per i frequentanti dell’anno 2021-22: costruzione di una parabola come inviluppo di tangenti attraverso le piegature della carta (origami); verifica delle proprietà di riflessione

 

Fra i testi a livello universitario di analisi matematica segnaliamo:

Un ottimo libro di calcolo americano, messo online dalla casa editrice Springer, guardate tutti e tre i volumi, alcuni argomenti del corso vengono trattati nel terzo

https://authors.library.caltech.edu/25030/

Robert A. Adams Calcolo Differenziale I, ed. CEA (Casa Editrice Ambrosiana)

Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli

G.B. Thomas, R.L. Finney Elementi di Analisi Matematica e Geometria Analitica ed. Zanichelli (fuori catalogo)