Istituzioni di Matematiche I Programma 2023-2024

Pagina in aggiornamento

Per parlare di matematica: i quantificatori universali. I numeri: naturali, interi, razionali, reali. Numeri reali: proprietà d’ordine e disuguaglianze. Irrazionalità di radice di 2 (con dimostrazione).

Algebra lineare da un punto di vista geometrico

Coordinate cartesiane nel piano e nello spazio; i piani coordinati. Punti e vettori. Distanza: definizione formale. Valore assoluto. Densità di Q in R. Distanza nel piano e nello spazio. Equazione della circonferenza e della sfera.

Algebra lineare (in 2 e 3 dimensioni): pendenza di un segmento, somma di vettori, prodotto scalare e prodotto vettoriale. Equivalenza della formulazione geometrica ed in coordinate. Condizioni di parallelismo e ortogonalità.

 

Calcolo differenziale in una variabile reale

Introduzione alle funzioni. Grafico di una funzione nei tre piani coordinati. Operazioni con i grafici.
Insiemi aperti e chiusi, punti di accumulazione, definizioni ed esempi. Definizione di limite. Operazioni con i limiti, limiti di quozienti di polinomi. Asintoti. Teorema del confronto. Limiti notevoli.

Funzioni continue (continuità in un punto e in un intervallo). Teoremi sulle funzioni continue: esistenza del massimo e del minimo, valori intermedi. Funzioni esponenziale e logaritmo.

Derivate: definizione, significato geometrico. Operazioni con le derivate: somma, prodotto, quoziente, moltiplicazione per una costante. Tecniche di derivazione, derivate delle principali funzioni. Equazione della retta tangente in un punto al grafico. Derivata di una funzione composta e delle funzioni inverse. Punti stazionari.
Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange. Monotonia e segno della derivata prima. Approssimazione lineare.

Derivate seconde, concavità, flessi. Studio completo di funzione. Teoremi di Cauchy e De l’Hopital. Problemi modellistici e di ottimizzazione. Polinomio di Taylor. Formula del resto di Lagrange nel caso n=2.

Introduzione all’utilizzo di software matematici per graficare le funzioni.

 

Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale

Introduzione agli integrali: integrali indefiniti e definiti. Il problema del calcolo dell’area di una regione piana. Il teorema della media integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e sostituzione.

Bibliografia

James Stewart, Calcolo. Funzioni di una variabile, Apogeo Education – Maggioli Editore.

Potete usare qualunque testo a livello universitario, per esempio

Robert A. Adams Calcolo Differenziale I ed. CEA (Casa Editrice Ambrosiana)

Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli

Marsden, J. E. and Weinstein, A. J. (1985) Calculus I. Springer-Verlag , New York, disponibile online qui  https://authors.library.caltech.edu/25030/

G.B. Thomas, R.L. Finney Elementi di Analisi Matematica e Geometria Analitica ed. Zanichelli (fuori catalogo)

 

Modalità di esame:

  • Per sostenere le prove e per verbalizzare l’esame è indispensabile prenotarsi almeno una settimana prima della prova su Gomp
  • L’esame e’ composto da una prova scritta ed un prova orale. Le prove scritta e orale fanno parte dello stesso esame, e vanno dunque svolte nello stesso appello. Cioè avete a disposizione solo la prova orale immediatamente seguente l’appello scritto che avete sostenuto.
  • Gli studenti che hanno sostenuto con esito positivo le prove in itinere, potranno sostenere l’esame orale entro la fine dello stesso anno accademico.
  • In questi tempi straordinari ci atteniamo alle linee guida di ateneo che per gli studenti sono reperibili al seguente link
  • Ognuno di voi può sostenere l’esame secondo il programma del corso che ha frequentato, fino ai due anni precedenti: Corso aa 2022-23, Corso aa 2021-22. In tal caso, comunicare almeno una settimana prima della prova, tramite mail indirizzata ai membri di commissione, il programma con cui si intende sostenere l’esame, indicando nome cognome, matricola, anno di immatricolazione, e il programma dell’A.A. su cui si sosterrà l’esame