Quantificatori. I numeri: naturali, interi, razionali, reali. Assiomi dei numeri reali.
Coordinate cartesiane nel piano. Punti e vettori. Distanza: definizione formale. Valore assoluto come distanza di un punto dall’origine. Densità di Q in R. Distanza nel piano. Equazione circonferenza: dal luogo di punti all’equazione. Irrazionalità di radice di 2 (con dimostrazione).
Algebra lineare
Pendenza di un segmento. Somma di vettori, prodotto di un vettore per uno scalare, differenza di vettori; direzione della congiungente di due punti dati. Prodotto scalare; equivalenza della formulazione geometrica e in coordinate. Equazione parametrica della retta. Condizioni di ortogonalità, parallelismo. Distanza punto-retta.
Funzioni di una variabile e loro derivate
Introduzione alle funzioni. Grafici. Operazioni con i grafici, valore assoluto di un grafico, traslazioni orizzontali e verticali, dilatazioni. Esponenziale, logaritmo di una funzione di cui si conosce il grafico. Insiemi aperti e chiusi, punti interni, punti di frontiera. Definizione di limite. Operazioni con i limiti, limite di quoziente di polinomi. Teorema del confronto (con dimostrazione). Limiti notevoli. Funzioni continue. Teoremi sulle funzioni continue. Asintoti. Derivate: rapporto incrementale, significato geometrico della derivata. Operazioni con le derivate: derivata della somma, prodotto, quoziente, di due funzioni. Tecniche di derivazione, derivate delle principali funzioni. Equazione della retta tangente in un punto al grafico. Derivata di una funzione composta e delle funzioni inverse. Punti stazionari. Teorema di Fermat (con dimostrazione). Teoremi di Rolle (con dimostrazione) e Lagrange. Monotonia e segno della derivata prima. Derivate seconde, concavità, flessi. Studio completo di funzione. Teoremi di De l’Hopital (senza dimostrazione). Problemi di tipo modellistico (trovare equazioni che mettono in relazione variabili). Approssimazione lineare, approssimazione quadratica (polinomi di Taylor di primo e secondo ordine); polinomio di Taylor, formula generale. Cenni alla formula del resto di Lagrange.
Integrazione di funzioni di variabile reale
Integrali indefiniti: calcolo delle primitive di una funzione. Integrali definiti: il problema del calcolo dell’area di una regione piana. Il teorema della media. Il teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Integrazione per parti e sostituzione.
Curve Coniche
Descrizione geometrica delle curve coniche; loro classificazione attraverso il discriminante; equazioni canoniche.
Canale A, per i frequentanti dell’anno 2021-22: approssimazione di una funzione con polinomi di Taylor di grado elevato con l’ausilio del computer; sovrapposizione dei due grafici per intervalli di lunghezza crescente
Canale B, per i frequentanti dell’anno 2021-22: costruzione di una parabola come inviluppo di tangenti attraverso le piegature della carta (origami); equazione della parabola trovata come inviluppo; verifica delle proprietà di riflessione.
Fra i testi a livello universitario di analisi matematica segnaliamo:
Un ottimo libro di calcolo americano, messo online dalla casa editrice Springer, guardate tutti e tre i volumi, alcuni argomenti del corso vengono trattati nel terzo
https://authors.library.caltech.edu/25030/
Robert A. Adams Calcolo Differenziale I, ed. CEA (Casa Editrice Ambrosiana)
Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli
G.B. Thomas, R.L. Finney Elementi di Analisi Matematica e Geometria Analitica ed. Zanichelli (fuori catalogo)