GEOMETRIA, GEOMETRIE
Il concetto di distanza, definizione di spazio metrico, definizione di distanza, esempi. Le curve geodetiche.
Discussione sulla scelta del modello geometrico:
postulati di Euclide, necessità del quinto postulato per la geometria descrittiva piana, triangoli simili ed uso del compasso per le proporzioni.
La sfera. La distanza sulla sfera, caratterizzazione delle “geodesiche”, o “rette”. Osservazioni locali e globali sulla sfera:
– figure piane sulla sfera e loro proprietà .
– differenze, osservabili localmente, tra geometria della sfera ed euclidea: relazione tra raggio e circonferenza, angoli interni di un triangolo, angoli interni di figure regolari (controesempio di Saccheri). Esistono triangoli “simili” su una sfera?
-errore compiuto stimando le distanze con la metrica euclidea invece che con quella sulla sfera, studio della sua dipendenza dall’ampiezza dell’area sotto osservazione.
-uso di coordinate sferiche e di coordinate cartesiane per lo studio della sfera. alcune curve notevoli su una sfera (spirali e rosette), in coordinate sferiche e in coordinate cartesiane.
Geometrie localmente euclidea, ellittica, iperbolica. Osservazioni locali: caratterizzazione di ciascuna geometria piana, a partire dall’osservazione rapporto circonferenza/raggio, somma angoli interni di un triangolo. Curvatura di una superficie: segno della curvatura gaussiana della superficie nel punto.
Modelli di carta: i modelli sono localmente euclidei (essendo di carta) ma la composizione delle figure piane risulta globalmente in modelli di geometrie ellittica e iperbolica. Calcolo esplicito della somma degli angoli interni di un triangolo, su modelli di carta. Linee parallele su un modello di carta di geometria iperbolica. Relazione tra le curve geodetiche su una superficie curva, ed la possibilità di ”trasporto parallelo” di vettori.
Ancora sulla sfera: studiare le caratteristiche topologiche e di simmetria che a volte vorremmo nei nostri “modelli”.
Topologia: Poliedri “semplici”. Esempi di solidi non semplici. Solidi platonici, formula di Eulero. Principio di dualità. Creare nuovi poliedri: poliedri tronchi, poliedri stellati. Icosaedro e rettangolo aureo.
dimostrazioni che usano la formula di Eulero: numero dei poliedri regolari, caratteristiche dei fullereni.
Cupole geodetiche e fullereni (LINK). raffinamento di un fullerene per triangolazioni.
Triangolazioni della sfera . Gruppi di simmetria speculare della sfera (Coxeter), analisi dei gruppi di simmetria dei solidi platonici. (Esempi: i diversi gruppi di simmetria dei palloni da calcio nella storia, solidi da cui partire per ottenere cupole geodetiche per triangolazione…)
Simmetrie piane e loro composizioni. Isometrie del piano: riflessione, traslazione, rotazione e glissoriflessione. Invarianza di un “motivo” per isometrie. Composizione di trasformazioni del piano. Struttura algebrica di gruppi ed esempi. Geometria algebrica: gruppi di trasformazioni “di” una figura piana. Su campo: studio di pavimenti cosmateschi o di altro manufatto che usi modularità di questo tipo.
IL SUONO NELLO SPAZIO
Equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali: definizione di equazione differenziale. Verifica delle soluzioni; messa a punto delle costanti con le condizioni al bordo. L’oscillatore armonico, la corda vibrante. Equazioni a variabili separabili.
frequenza, periodo, lunghezza d’onda. descrizione in frequenza e descrizione nel dominio temporale.
(fenomeni fisici: guide d’onda, riverbero, tempo di riverbero).
Alcuni fenomeni psicoacustici: curve di isopercezione. effetto di precedenza.
Rilievi sonori prima fase: abbiamo sperimentato modalità che si vanno mettendo a punto in vari gruppi di ricerca per rilevare e documentare i paesaggi sonori. abbiamo quindi effettuato una passeggiata sonora; questa passeggiata potete considerarla come uno dei “sopralluoghi guidati” cui siete abituati come allievi architetti.
In particolare, noi poniamo attenzione particolare ai suoni impulsivi (piccola scala temporale), e lievi, in relazione a quelli meccanici (in genere periodici) e forti. Attenzione a come vi appare l’organizzazione spaziale dei suoni, di volta in volta, ad esempio: sovrapposizione e mascheramento di suoni. Come cambia il suono al procedere della passeggiata, e cosa vi racconta della configurazione dello spazio attorno a voi.
seconda fase: tornate sulla passeggiata. registrate, riascoltate, cosa si è perso? come raccontereste, che medium scegliete a seconda del fine. i gruppi di lavoro possono portare una composizione di suoni che racconti la passeggiata.
Chi non c’era o non ha partecipato al lavoro di un gruppo, troverà materiale in bibliografia, o anche se non avete potuto partecipare alla discussione di gruppo in merito a quest’esperienza. Per favore se non ha partecipato prima, non porti composizioni di suoni all’esame. è un lavoro necessariamente svolto durante l’anno.
BIBLIOGRAFIA
Libri e articoli
H. Pottmann, A. Asperl, M.Hofer, A. Kilian Architectural Geometry Bentley Institute Press 2007
V. Nikulin, I. R. Shafarevich, Geometries and groups, Springer 1994. Cap 1 (sfera)
Courant, Robbins Che cos’è la matematica? Bollati Boringhieri, Cap 5 §1,2. Cap 7§7.
Adams, “Calcolo differenziale 2, funzioni di più variabili” , CEA, 2007, cap 8 §1
A. Benade “Fundamentals of Musical Acoustics” Dover 1990. Cap 1 §1, Cap 12 Room acoustics II: §12.2(effetto precedenza), §12.3 localization by ears.
B. Blesser L.R. Salter “Spaces Speak, Are You Listening? Experiencing Aural Architecture” MIT Press 2007
A. Frova: “Fisica nella musica“ Zanichelli, 1999. Cap 2 §1,2,3. Cap 15 § 1,2,….
G.Giuriati e L. Tedeschini Lalli (a cura di) “Spazi sonori della musica“ L’Epos 2010,(lo trovate in biblioteca) in particolare i saggi:
“La localizzazione uditiva dei suoni nello spazio“, di G.Canévet, pp53-78;
“Acustica delle sale. Fondamenti di fisica, metodi di progettazione, valutazioni soggettive” , di G. Müller, pp79-98;
“Spazi fisici e spazi virtuali nella musica d’oggi“, di Alvise Vidolin, pp 117-134;
“Mappatura sonica di un’area romana“, di Laura Tedeschini Lalli, pp135-148.
R. Murray Schafer: “The Soundscape” , 1977
R. Murray Schafer: “Il paesaggio sonoro” BMG Ricordi Publications, 1985
R. Murray Schafer: “The Tuning of the World“, 1977
A. Radicchi: “Sull’immagine sonora della città” Firenze University Press 2012
A. Capanna “Conoids and Hyperbolic Paraboloids in Le Corbusier’s Philips Pavilion” pp. 35-44 in Nexus III: Architecture and Mathematics, ed. Kim Williams, Pisa: Pacini Editore, 2000.
Nota per le mie/i student/-esse/-i: I testi di Blesser, Radicchi e quello a cura mia, sono a disposizione in Biblioteca delle Arti, “in riserva” per il nostro corso. Questo vuol dire che potete studiarlo in biblioteca ma non portarlo via. I testi di Benade e Frova sono nella biblioteca, nella sezione di Scienze (informarsi). Il libro di Murray Schafer è in Biblioteca di Spettacolo, in italiano. Ne abbiamo ordinata una copia anche noi, credo ora ci sia. Nella sezione LINKS trovate alcuni altri riferimenti, saremo grate di altre segnalazioni.
Libri per approfondire:
E.A. Abbott Flatland: a Romance of Many Dimensions, Princeton University Science Library 1884.
T. Banchoff Oltre la terza dimensione Zanichelli 1993
D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, “Geometria intuitiva”, Bollati Boringhieri, 2001
B. Riemann “Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria” Boringhieri 1994
L. Russo “Flussi e riflussi” Feltrinelli 2003 in particolare capitolo 1 “la forma della terra”