Anno accademico 2022-2023 8 crediti
Canale A (cognomi A-L): Docenti Fabio Briscese (email Fabio dot Briscese at uniroma3 dot it), Laura Tedeschini Lalli (email tedeschi at mat dot uniroma3 dot it). Orari e aule: Martedì ore 10.40-12:40 aula Libera; Mercoledì e Giovedì ore 14:00-16:00 aula Ersoch; Venerdì 14:00-16:00, aula Musmeci.
Canale B (cognomi M-Z): Docente Paola Magrone (email paola dot magrone at uniroma3 dot it). Orari e aule: Martedì ore 10.40-12:40 aula Musmeci; Mercoledì, Giovedì e Venerdì ore 14:00-16:00 aula Nervi.
Programma
Per parlare di matematica: i quantificatori universali. I numeri: naturali, interi, razionali, reali. Numeri reali: proprietà d’ordine e disuguaglianze. Irrazionalità di radice di 2 (con dimostrazione).
Algebra lineare da un punto di vista geometrico
I “luoghi di punti” nel piano sono in genere definiti tramite proprietà metriche (ad esempio distanze e loro combinazioni), cioè in modo puramente geometrico. Il metodo cartesiano delle coordinate ha storicamente permesso di esprimere queste proprietà algebricamente, cioè anche in “formule”, ovvero equazioni. I due punti di vista diventano quindi intercambiabili nel trattamento.
Il piano cartesiano: il metodo delle coordinate, le “rette di numeri”. Valore assoluto come distanza di un punto dall’origine sulla retta reale. Punti e vettori. Distanza euclidea nel piano. Equazione circonferenza: dal luogo di punti all’equazione. Luoghi di punti; appartenenza di un punto ad un luogo geometrico espresso da una equazione.
Pendenza di un segmento. Somma e differenza di vettori, prodotto di un vettore per uno scalare; direzione della congiungente di due punti dati. Equazione parametrica della retta. Prodotto scalare; equivalenza della formulazione geometrica e in coordinate. Angolo tra vettori; proiezione di un vettore su un altro. Condizioni di ortogonalità, parallelismo. Distanza punto-retta.
Matrici come rappresentazione di trasformazioni lineari del piano: prodotto righe per colonne, trasformazione di figure data la matrice; problemi inversi: data la trasformazione, graficamente, ricavare la matrice; determinante come fattore d’area. Matrice di rotazione.
Le coniche: definizioni geometrica e algebrica. Ellisse con il metodo del giardiniere; (facoltativo: costruzione di una parabola per piegature della carta come inviluppo di tangenti). Classificazione delle coniche attraverso il discriminante dell’equazione; equazioni canoniche.
Calcolo differenziale in una variabile reale
Funzioni reali di una variabile reale. Dominio e immagine. Grafici. Le operazioni sui grafici: valore assoluto di un grafico, traslazioni orizzontali e verticali, dilatazioni. Insiemi aperti e chiusi, punti interni, punti di frontiera.
Definizione di limite. Operazioni con i limiti, limite di quoziente di polinomi. Teorema del confronto (con dimostrazione). Limiti notevoli: (sin x)/x
Continuità di una funzione in un punto, continuità di una funzione in un intervallo. Teoremi sulle funzioni continue: esistenza del massimo e del minimo, valori intermedi. Asintoti. Derivate: rapporto incrementale, significato geometrico della derivata; pendenza del grafico in un punto. Dal grafico di una funzione al grafico della sua derivata. L’algebra delle derivate: derivata della somma, prodotto, quoziente di due funzioni. Derivate delle principali funzioni. Equazione della retta tangente in un punto al grafico. Derivata di una funzione composta. Funzioni inverse e loro derivate. Punti stazionari (o critici). Teorema di Fermat (con dimostrazione). Teoremi di Rolle (con dimostrazione) e Lagrange. Monotonia della funzione e segno della sua derivata prima. Derivate seconde, concavità, flessi. Studio di funzione e conseguente tracciamento del suo grafico. Teoremi di De l’Hopital (senza dimostrazione).
Modelli matematici: trovare equazioni che mettono in relazione variabili, dominio modellistico delle variabili; rapidità di variazioni collegate; problemi di massimo e minimo.
Approssimazione lineare, approssimazione quadratica (polinomi di Taylor di primo e secondo ordine); polinomio di Taylor, formula generale.
Funzione esponenziale e logaritmo.
Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale
Integrali indefiniti: calcolo delle primitive di una funzione. Integrali definiti: l’area sottesa ad una curva. Il teorema della media. Il teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Integrazione per parti. Definizione di logaritmo naturale come integrale definito.
Bibliografia
Robert A. Adams Calcolo Differenziale I, ed. CEA (Casa Editrice Ambrosiana)
Vettori nel piano, estratto da Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli
Coniche e loro classificazione, estratto dal libro di Richard Hunt “Calculus of a single variable”
Matrici come rappresentazione di trasformazioni lineari del piano, dal sito del Prof. Paolo Lazzarini
Dal grafico di una funzione al grafio della sua derivata, dal sito della Prof. Francesca Fabbri
Due pagine di appunti affidabili, verificati da LTL
Potete usare qualunque testo a livello universitario, per esempio
Marsden, J. E. and Weinstein, A. J. (1985) Calculus I. Springer-Verlag , New York, disponibile online qui https://authors.library.caltech.edu/25030/
Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli
G.B. Thomas, R.L. Finney Elementi di Analisi Matematica e Geometria Analitica ed. Zanichelli (fuori catalogo)
Modalità di esame:
- Ognuno di voi può sostenere l’esame secondo il programma del corso che ha frequentato, fino ai due anni precedenti: Corso aa 2020-21, Corso aa 2021-22. In tal caso, comunicare almeno una settimana prima della prova, tramite mail indirizzata ai membri di commissione, il programma con cui si intende sostenere l’esame, indicando nome cognome, matricola, anno di immatricolazione, e il programma dell’A.A. su cui si sosterrà l’esame